stiksintcarolus.ac.id

Selesaikan persamaan logaritma berikut untuk $x$:
$log_2 (x+1) + log_2 (x-1) = 3$

Pembahasan:
Gunakan sifat logaritma $log_a M + log_a N = log_a (M cdot N)$:
$log_2 ((x+1)(x-1)) = 3$

Sederhanakan bentuk dalam kurung menggunakan selisih kuadrat $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$:
$log_2 (x^2 – 1) = 3$

Ubah bentuk logaritma ke bentuk eksponen. Jika $log_a M = N$, maka $a^N = M$:
$2^3 = x^2 – 1$
$8 = x^2 – 1$

Pindahkan konstanta ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
$x^2 – 1 – 8 = 0$
$x^2 – 9 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
$(x-3)(x+3) = 0$

Solusi yang mungkin adalah $x = 3$ atau $x = -3$.

Namun, kita harus memeriksa apakah solusi ini memenuhi syarat domain logaritma. Argumen logaritma harus positif.
Untuk $log_2 (x+1)$, kita perlu $x+1 > 0$, sehingga $x > -1$.
Untuk $log_2 (x-1)$, kita perlu $x-1 > 0$, sehingga $x > 1$.

Dengan demikian, solusi yang valid harus memenuhi $x > 1$.
Nilai $x=3$ memenuhi syarat ini, sedangkan $x=-3$ tidak memenuhi syarat $x > 1$.

Jadi, solusi tunggal untuk persamaan ini adalah $x = 3$.

Contoh Soal 3: Aplikasi Fungsi Eksponen (Pertumbuhan/Peluruhan)

Jumlah bakteri dalam suatu kultur berkembang biak mengikuti pola pertumbuhan eksponensial. Jika pada awal pengamatan terdapat 100 bakteri, dan setelah 2 jam jumlahnya menjadi 400 bakteri, tentukan jumlah bakteri setelah 5 jam.

Pembahasan:
Model pertumbuhan eksponensial dapat dirumuskan sebagai $N(t) = N_0 cdot a^t$, di mana:

• $N(t)$ adalah jumlah bakteri pada waktu $t$.
• $N_0$ adalah jumlah bakteri awal.
• $a$ adalah faktor pertumbuhan.
• $t$ adalah waktu.

Diketahui:

• $N_0 = 100$
• Pada $t = 2$ jam, $N(2) = 400$.

Kita dapat menggunakan informasi ini untuk mencari faktor pertumbuhan $a$:
$N(2) = N_0 cdot a^2$
$400 = 100 cdot a^2$
$frac400100 = a^2$
$4 = a^2$
$a = sqrt4 = 2$ (Karena pertumbuhan, maka $a$ positif)

Jadi, model pertumbuhan bakteri adalah $N(t) = 100 cdot 2^t$.

Sekarang, kita ingin mencari jumlah bakteri setelah 5 jam, yaitu $N(5)$:
$N(5) = 100 cdot 2^5$
$N(5) = 100 cdot 32$
$N(5) = 3200$

Jadi, jumlah bakteri setelah 5 jam adalah 3200.

Tips Belajar Fungsi Eksponen dan Logaritma:

• Pahami definisi dan sifat-sifat dasar eksponen dan logaritma. Hafalkan sifat-sifat seperti $log_a b = fraclog_c blog_c a$, $log_a a = 1$, $log_a 1 = 0$, dll.
• Latih soal-soal persamaan dan pertidaksamaan eksponen serta logaritma dengan berbagai tingkat kesulitan.
• Kenali bentuk-bentuk soal aplikasi, seperti pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan skala.

3. Trigonometri

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dalam segitiga. Materi kelas 10 semester 2 biasanya mencakup identitas trigonometri dasar, penyelesaian persamaan trigonometri, dan penggambaran grafik fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, dan tangen.

Contoh Soal 1: Pembuktian Identitas Trigonometri

Buktikan identitas trigonometri berikut:
$fracsin theta1 + cos theta + frac1 + cos thetasin theta = 2 csc theta$

Pembahasan:
Kita akan mulai dengan menjumlahkan dua pecahan di sisi kiri. Samakan penyebutnya:
$fracsin theta cdot sin theta(1 + cos theta) sin theta + frac(1 + cos theta)(1 + cos theta)sin theta (1 + cos theta) = 2 csc theta$

Jumlahkan pembilangnya:
$fracsin^2 theta + (1 + cos theta)^2sin theta (1 + cos theta) = 2 csc theta$

Jabarkan $(1 + cos theta)^2$:
$(1 + cos theta)^2 = 1^2 + 2 cdot 1 cdot cos theta + cos^2 theta = 1 + 2 cos theta + cos^2 theta$

Substitusikan kembali ke pembilang:
$fracsin^2 theta + 1 + 2 cos theta + cos^2 thetasin theta (1 + cos theta) = 2 csc theta$

Gunakan identitas $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$:
$frac(sin^2 theta + cos^2 theta) + 1 + 2 cos thetasin theta (1 + cos theta) = 2 csc theta$
$frac1 + 1 + 2 cos thetasin theta (1 + cos theta) = 2 csc theta$
$frac2 + 2 cos thetasin theta (1 + cos theta) = 2 csc theta$

Faktorkan 2 dari pembilang:
$frac2(1 + cos theta)sin theta (1 + cos theta) = 2 csc theta$

Batalkan $(1 + cos theta)$ dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi $1 + cos theta neq 0$):
$frac2sin theta = 2 csc theta$

Kita tahu bahwa $csc theta = frac1sin theta$. Jadi:
$2 cdot frac1sin theta = 2 csc theta$
$2 csc theta = 2 csc theta$

Identitas terbukti benar.

Contoh Soal 2: Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $cos(2x) = frac12$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.

Pembahasan:
Pertama, tentukan nilai $2x$ yang memenuhi $cos(2x) = frac12$.
Sudut di kuadran I yang kosinusnya $frac12$ adalah $60^circ$.
Sudut di kuadran IV yang kosinusnya $frac12$ adalah $360^circ – 60^circ = 300^circ$.

Karena fungsi kosinus periodik dengan periode $360^circ$, solusi umum untuk $2x$ adalah:
$2x = 60^circ + k cdot 360^circ$
$2x = 300^circ + k cdot 360^circ$
di mana $k$ adalah bilangan bulat.

Sekarang, kita perlu mencari nilai $x$ dalam rentang $0^circ le x le 360^circ$. Bagi kedua persamaan dengan 2:
$x = 30^circ + k cdot 180^circ$
$x = 150^circ + k cdot 180^circ$

Mari kita cari nilai $x$ untuk berbagai nilai $k$:

Untuk $k=0$:
$x = 30^circ + 0 cdot 180^circ = 30^circ$
$x = 150^circ + 0 cdot 180^circ = 150^circ$

Untuk $k=1$:
$x = 30^circ + 1 cdot 180^circ = 210^circ$
$x = 150^circ + 1 cdot 180^circ = 330^circ$

Untuk $k=2$:
$x = 30^circ + 2 cdot 180^circ = 30^circ + 360^circ = 390^circ$ (Di luar rentang)
$x = 150^circ + 2 cdot 180^circ = 150^circ + 360^circ = 510^circ$ (Di luar rentang)

Nilai $k$ negatif juga akan menghasilkan nilai $x$ di luar rentang.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $30^circ, 150^circ, 210^circ, 330^circ$.

Contoh Soal 3: Menggambar Grafik Fungsi Trigonometri

Gambarkan grafik fungsi $y = 2 sin(x – 60^circ)$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.

Pembahasan:
Grafik dasar $y = sin x$ memiliki amplitudo 1, periode $360^circ$, dan tidak ada pergeseran fase.

1. Amplitudo: Koefisien 2 di depan $sin$ menunjukkan amplitudo. Amplitudo adalah 2. Ini berarti nilai maksimum fungsi adalah 2 dan nilai minimum adalah -2.
2. Periode: Karena tidak ada koefisien lain di depan $x$ selain 1, periode tetap $360^circ$.
3. Pergeseran Fase: Tanda $(x – 60^circ)$ menunjukkan pergeseran horizontal. Karena tandanya minus, grafik bergeser ke kanan sejauh $60^circ$.

Langkah-langkah menggambar:

• Gambar grafik dasar $y = sin x$ untuk $0^circ le x le 360^circ$. Titik-titik pentingnya adalah $(0^circ, 0)$, $(90^circ, 1)$, $(180^circ, 0)$, $(270^circ, -1)$, $(360^circ, 0)$.
• Geser grafik ini ke kanan sejauh $60^circ$. Titik-titik penting sekarang menjadi:
  • $(0^circ + 60^circ, 0) = (60^circ, 0)$
  • $(90^circ + 60^circ, 1) = (150^circ, 1)$
  • $(180^circ + 60^circ, 0) = (240^circ, 0)$
  • $(270^circ + 60^circ, -1) = (330^circ, -1)$
  • $(360^circ + 60^circ, 0) = (420^circ, 0)$ (Titik ini di luar rentang $0^circ le x le 360^circ$, namun penting untuk melihat bentuk kurva)
• Amplitudo sekarang adalah 2, bukan 1. Jadi, nilai maksimumnya adalah 2 dan minimumnya adalah -2. Titik-titik kunci yang baru adalah:
  • $(60^circ, 0)$
  • $(150^circ, 2)$
  • $(240^circ, 0)$
  • $(330^circ, -2)$

Grafiknya akan dimulai dari nilai negatif di $0^circ$ (karena pergeseran $60^circ$ berarti pada $x=0$, nilai fungsinya sama seperti $sin(-60^circ)$ yang negatif), naik ke 0 pada $60^circ$, mencapai maksimum pada $150^circ$, kembali ke 0 pada $240^circ$, mencapai minimum pada $330^circ$, dan kembali ke 0 pada $420^circ$.

Tips Belajar Trigonometri:

• Kuasi identitas-identitas trigonometri dasar dan perluasannya.
• Latihan soal penyelesaian persamaan trigonometri dengan berbagai bentuk dan rentang sudut.
• Pahami bagaimana amplitudo, periode, dan pergeseran fase mempengaruhi grafik fungsi trigonometri.

4. Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitudo) dan arah. Dalam matematika, vektor sering direpresentasikan dalam bentuk komponen, misalnya dalam ruang dua dimensi $(x, y)$ atau tiga dimensi $(x, y, z)$. Materi ini mencakup operasi dasar vektor (penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar), dot product (hasil kali titik), cross product (hasil kali silang), dan aplikasinya dalam geometri seperti mencari sudut antara dua vektor atau proyeksi vektor.

Contoh Soal 1: Operasi Vektor

Diketahui vektor $veca = (3, -1, 2)$ dan $vecb = (-1, 4, 5)$. Tentukan:
a. $veca + vecb$
b. $2veca – vecb$

Pembahasan:
a. Penjumlahan Vektor: Jumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian.
$veca + vecb = (3 + (-1), -1 + 4, 2 + 5)$
$veca + vecb = (2, 3, 7)$

b. Perkalian Skalar dan Pengurangan Vektor:
Pertama, hitung $2veca$:
$2veca = 2 cdot (3, -1, 2) = (2 cdot 3, 2 cdot (-1), 2 cdot 2) = (6, -2, 4)$

Kemudian, kurangkan $vecb$ dari $2veca$:
$2veca – vecb = (6, -2, 4) – (-1, 4, 5)$
$2veca – vecb = (6 – (-1), -2 – 4, 4 – 5)$
$2veca – vecb = (7, -6, -1)$

Contoh Soal 2: Proyeksi Vektor

Tentukan vektor proyeksi $veca$ pada $vecb$, jika diketahui $veca = (2, 1)$ dan $vecb = (3, 4)$.

Pembahasan:
Rumus vektor proyeksi $veca$ pada $vecb$ adalah:
$textproj_vecb veca = fracveca cdot vecb^2 vecb$

Langkah-langkah:

1. Hitung dot product $veca cdot vecb$:
   $veca cdot vecb = (2)(3) + (1)(4) = 6 + 4 = 10$

2. Hitung kuadrat magnitudo vektor $vecb$, $|vecb|^2$:
   $|vecb|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

3. Substitusikan ke dalam rumus proyeksi:
   $textprojvecb veca = frac1025 vecb$
   $textprojvecb veca = frac25 (3, 4)$
   $textprojvecb veca = left(frac25 cdot 3, frac25 cdot 4right)$
   $textprojvecb veca = left(frac65, frac85right)$

Jadi, vektor proyeksi $veca$ pada $vecb$ adalah $left(frac65, frac85right)$.

Contoh Soal 3: Aplikasi Vektor dalam Geometri (Sudut antara Vektor)

Tentukan besar sudut antara vektor $vecu = (1, sqrt3)$ dan $vecv = (1, 0)$.

Pembahasan:
Gunakan rumus dot product yang melibatkan sudut:
$vecu cdot vecv = |vecu| |vecv| cos alpha$
di mana $alpha$ adalah sudut antara $vecu$ dan $vecv$.

Langkah-langkah:

1. Hitung dot product $vecu cdot vecv$:
   $vecu cdot vecv = (1)(1) + (sqrt3)(0) = 1 + 0 = 1$

2. Hitung magnitudo $|vecu|$:
   $|vecu| = sqrt1^2 + (sqrt3)^2 = sqrt1 + 3 = sqrt4 = 2$

3. Hitung magnitudo $|vecv|$:
   $|vecv| = sqrt1^2 + 0^2 = sqrt1 = 1$

4. Substitusikan ke dalam rumus dot product untuk mencari $cos alpha$:
   $1 = (2)(1) cos alpha$
   $1 = 2 cos alpha$
   $cos alpha = frac12$

5. Tentukan sudut $alpha$ dari nilai $cos alpha$:
   $alpha = arccosleft(frac12right)$
   $alpha = 60^circ$

Jadi, besar sudut antara vektor $vecu$ dan $vecv$ adalah $60^circ$.

Tips Belajar Vektor:

• Pahami konsep dasar vektor sebagai besaran yang memiliki arah dan besar.
• Latihan berbagai operasi vektor, termasuk penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar.
• Kuasai rumus dot product dan cross product, serta aplikasinya dalam mencari sudut dan proyeksi.
• Visualisasikan vektor dalam ruang koordinat untuk membantu pemahaman.

5. Strategi Menghadapi PAT

Menghadapi PAT Matematika Peminatan memerlukan persiapan yang matang. Berikut adalah beberapa strategi yang dapat membantu siswa:

• Memahami Konsep Inti: Jangan hanya menghafal rumus, tetapi pahami konsep di baliknya. Mengapa rumus itu berlaku? Bagaimana penerapannya? Pemahaman konsep akan memudahkan Anda menyelesaikan soal yang bervariasi.
• Latihan Soal Variatif: Kerjakan berbagai jenis soal dari berbagai sumber, seperti buku paket, LKS, dan contoh-contoh soal PAT tahun sebelumnya. Ini akan membantu Anda mengenali pola soal dan strategi penyelesaian yang efektif.
• Manajemen Waktu: Saat mengerjakan latihan soal, cobalah untuk membatasi waktu. Ini akan melatih Anda untuk bekerja efisien saat ujian sebenarnya.
• Istirahat yang Cukup: Jangan lupakan pentingnya istirahat. Tubuh dan pikiran yang segar akan membuat Anda lebih fokus dan produktif saat belajar maupun saat ujian.
• Diskusi dan Bertanya: Jika ada materi atau soal yang sulit dipahami, jangan ragu untuk berdiskusi dengan teman atau bertanya kepada guru.

6. Kesimpulan

Penilaian Akhir Tahun Matematika Peminatan kelas 10 semester 2 mencakup topik-topik penting seperti fungsi eksponen dan logaritma, trigonometri, dan vektor. Dengan memahami contoh-contoh soal yang telah dibahas, siswa diharapkan memiliki gambaran yang lebih jelas mengenai jenis soal yang mungkin dihadapi dan cara menyelesaikannya. Kunci keberhasilan dalam PAT adalah pemahaman konsep yang kuat, latihan soal yang konsisten, dan strategi belajar yang efektif. Dengan persiapan yang optimal, siswa dapat menghadapi PAT dengan percaya diri dan meraih hasil yang memuaskan.

Semoga artikel ini bermanfaat dalam persiapan Anda menghadapi PAT Matematika Peminatan. Selamat belajar dan semoga sukses!