stiksintcarolus.ac.id

Konsep Dasar:
Inti dari program linear adalah Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). SPLDV ini menggambarkan batasan-batasan dalam suatu masalah. Daerah penyelesaian dari SPLDV adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua pertidaksamaan secara bersamaan. Nilai optimum dari fungsi tujuan biasanya terletak pada titik-titik sudut daerah penyelesaian.

Contoh Soal 1: Aplikasi Program Linear dalam Masalah Produksi

Seorang pengrajin kerajinan tangan ingin memproduksi dua jenis souvenir, yaitu gantungan kunci dan bingkai foto. Untuk membuat satu gantungan kunci, dibutuhkan waktu 2 jam kerja dan biaya bahan Rp 5.000. Untuk membuat satu bingkai foto, dibutuhkan waktu 3 jam kerja dan biaya bahan Rp 8.000. Pengrajin tersebut memiliki waktu kerja maksimum 60 jam per minggu dan anggaran maksimum Rp 150.000 per minggu. Jika keuntungan per gantungan kunci adalah Rp 10.000 dan per bingkai foto adalah Rp 15.000, tentukan jumlah masing-masing souvenir yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum.

Pembahasan:
Misalkan:

• $x$ = jumlah gantungan kunci yang diproduksi
• $y$ = jumlah bingkai foto yang diproduksi

Fungsi tujuan (keuntungan): $Z = 10.000x + 15.000y$ (dimaksimalkan)

Kendala:

1. Waktu kerja: $2x + 3y le 60$
2. Biaya bahan: $5.000x + 8.000y le 150.000$ (dapat disederhanakan menjadi $5x + 8y le 150$)
3. Jumlah souvenir tidak negatif: $x ge 0, y ge 0$

Langkah selanjutnya adalah menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut, mencari titik-titik sudutnya, lalu mensubstitusikan titik-titik sudut tersebut ke dalam fungsi tujuan untuk mencari nilai maksimum.

Contoh Soal 2: Penentuan Nilai Optimum pada Soal Cerita

Sebuah perusahaan roti memproduksi dua jenis kue, yaitu kue cokelat dan kue keju. Untuk membuat satu kue cokelat dibutuhkan 2 ons tepung dan 1 ons gula. Untuk membuat satu kue keju dibutuhkan 1 ons tepung dan 2 ons gula. Perusahaan tersebut memiliki persediaan tepung sebanyak 10 kg dan gula sebanyak 8 kg. Keuntungan dari penjualan satu kue cokelat adalah Rp 2.000 dan satu kue keju adalah Rp 3.000. Tentukan jumlah kue cokelat dan kue keju yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum.

Pembahasan:
Ubah satuan ke gram agar konsisten: 10 kg = 10.000 gram, 8 kg = 8.000 gram.
Misalkan:

• $x$ = jumlah kue cokelat
• $y$ = jumlah kue keju

Fungsi tujuan (keuntungan): $Z = 2.000x + 3.000y$ (dimaksimalkan)

Kendala:

1. Tepung: $2x + y le 10.000$
2. Gula: $x + 2y le 8.000$
3. $x ge 0, y ge 0$

Serupa dengan contoh sebelumnya, tentukan titik-titik sudut daerah penyelesaian dan substitusikan ke fungsi tujuan.

3. Matriks

Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Matriks memiliki berbagai aplikasi, salah satunya dalam penyelesaian sistem persamaan linear.

Operasi Dasar Matriks:

• Penjumlahan/Pengurangan: Dilakukan jika ordo kedua matriks sama, elemen yang bersesuaian dijumlahkan/dikurangkan.
• Perkalian Skalar: Mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar.
• Perkalian Matriks: Dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.

Determinan dan Invers:

• Determinan matriks persegi berordo 2×2: $det(A) = ad – bc$ untuk $A = beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$.
• Invers matriks persegi berordo 2×2: $A^-1 = frac1det(A) beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix$, dengan $det(A) ne 0$.

Contoh Soal 3: Operasi Matriks dan Sifatnya

Diberikan matriks $A = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$, $B = beginpmatrix 0 & 5 -2 & 1 endpmatrix$, dan $C = beginpmatrix 1 & 2 -3 & 0 endpmatrix$. Hitunglah:
a. $A + B$
b. $2A – C$
c. $A times B$
d. $det(A)$
e. $A^-1$

Pembahasan:
a. $A + B = beginpmatrix 2+0 & -1+5 3+(-2) & 4+1 endpmatrix = beginpmatrix 2 & 4 1 & 5 endpmatrix$
b. $2A – C = 2beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix – beginpmatrix 1 & 2 -3 & 0 endpmatrix = beginpmatrix 4 & -2 6 & 8 endpmatrix – beginpmatrix 1 & 2 -3 & 0 endpmatrix = beginpmatrix 4-1 & -2-2 6-(-3) & 8-0 endpmatrix = beginpmatrix 3 & -4 9 & 8 endpmatrix$
c. $A times B = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix beginpmatrix 0 & 5 -2 & 1 endpmatrix = beginpmatrix (2)(0)+(-1)(-2) & (2)(5)+(-1)(1) (3)(0)+(4)(-2) & (3)(5)+(4)(1) endpmatrix = beginpmatrix 0+2 & 10-1 0-8 & 15+4 endpmatrix = beginpmatrix 2 & 9 -8 & 19 endpmatrix$
d. $det(A) = (2)(4) – (-1)(3) = 8 – (-3) = 8 + 3 = 11$
e. $A^-1 = frac1det(A) beginpmatrix 4 & -(-1) -3 & 2 endpmatrix = frac111 beginpmatrix 4 & 1 -3 & 2 endpmatrix = beginpmatrix 4/11 & 1/11 -3/11 & 2/11 endpmatrix$

Contoh Soal 4: Penyelesaian SPLDV menggunakan Matriks

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut menggunakan metode matriks:
$2x + y = 5$
$x – 3y = -1$

Pembahasan:
Ubah sistem persamaan ke dalam bentuk matriks $AX = B$:
$beginpmatrix 2 & 1 1 & -3 endpmatrix beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix 5 -1 endpmatrix$

Di sini, $A = beginpmatrix 2 & 1 1 & -3 endpmatrix$, $X = beginpmatrix x y endpmatrix$, dan $B = beginpmatrix 5 -1 endpmatrix$.
Solusinya adalah $X = A^-1B$.

Hitung $det(A) = (2)(-3) – (1)(1) = -6 – 1 = -7$.
Hitung $A^-1 = frac1-7 beginpmatrix -3 & -1 -1 & 2 endpmatrix = beginpmatrix 3/7 & 1/7 1/7 & -2/7 endpmatrix$.

Sekarang hitung $X = A^-1B$:
$beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix 3/7 & 1/7 1/7 & -2/7 endpmatrix beginpmatrix 5 -1 endpmatrix = beginpmatrix (3/7)(5) + (1/7)(-1) (1/7)(5) + (-2/7)(-1) endpmatrix = beginpmatrix 15/7 – 1/7 5/7 + 2/7 endpmatrix = beginpmatrix 14/7 7/7 endpmatrix = beginpmatrix 2 1 endpmatrix$.
Jadi, $x=2$ dan $y=1$.

4. Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah perubahan posisi, ukuran, atau bentuk suatu objek geometri.

Jenis-jenis Transformasi:

• Translasi: Pergeseran titik $(x, y)$ oleh vektor $(a, b)$ menghasilkan bayangan $(x+a, y+b)$.
• Refleksi:
  • Terhadap sumbu X: $(x, y) to (x, -y)$
  • Terhadap sumbu Y: $(x, y) to (-x, y)$
  • Terhadap garis $y=x$: $(x, y) to (y, x)$
  • Terhadap garis $y=-x$: $(x, y) to (-y, -x)$
  • Terhadap titik asal (0,0): $(x, y) to (-x, -y)$
• Rotasi: Rotasi dengan pusat $(0,0)$ sejauh $theta$: $(x, y) to (xcostheta – ysintheta, xsintheta + ycostheta)$.
• Dilatasi: Dilatasi dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$: $(x, y) to (kx, ky)$.

Komposisi Transformasi:
Urutan penerapan transformasi. Misal, rotasi dilanjutkan dengan translasi.

Contoh Soal 5: Kombinasi Transformasi Geometri

Bayangan titik $A(3, -2)$ oleh transformasi yang diakibatkan oleh komposisi rotasi dengan pusat $(0,0)$ sebesar 90 derajat searah jarum jam, dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu Y adalah…

Pembahasan:
Misalkan titik $A = (3, -2)$.

1. Rotasi 90 derajat searah jarum jam:
   Sudut rotasi adalah $-90^circ$ atau $270^circ$.
   Rumus rotasi 90 derajat searah jarum jam adalah $(x, y) to (y, -x)$.
   Bayangan $A’$ setelah rotasi: $(3, -2) to (-2, -3)$. Jadi, $A'(-2, -3)$.

2. Refleksi terhadap sumbu Y:
   Titik $A'(-2, -3)$ dicerminkan terhadap sumbu Y.
   Rumus refleksi terhadap sumbu Y adalah $(x, y) to (-x, y)$.
   Bayangan $A”$ setelah refleksi: $(-2, -3) to (-(-2), -3) = (2, -3)$.

Jadi, bayangan akhir titik $A(3, -2)$ adalah $(2, -3)$.

Contoh Soal 6: Menentukan Bayangan Titik/Garis setelah Transformasi

Tentukan bayangan garis $y = 2x + 1$ setelah ditransformasikan oleh matriks $T = beginpmatrix 1 & 0 0 & -1 endpmatrix$ dilanjutkan dengan translasi oleh vektor $beginpmatrix 2 -1 endpmatrix$.

Pembahasan:
Matriks $T = beginpmatrix 1 & 0 0 & -1 endpmatrix$ merepresentasikan refleksi terhadap sumbu X.
Misalkan titik $(x, y)$ pada garis asli.

1. Transformasi oleh matriks T (refleksi sumbu X):
   $beginpmatrix x’ y’ endpmatrix = beginpmatrix 1 & 0 0 & -1 endpmatrix beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix x -y endpmatrix$.
   Dari sini, kita dapatkan $x’ = x$ dan $y’ = -y$. Ini berarti $x = x’$ dan $y = -y’$.

2. Translasi oleh vektor $beginpmatrix 2 -1 endpmatrix$:
   Titik $(x’, y’)$ ditranslasikan menjadi $(x”, y”)$.
   $beginpmatrix x” y” endpmatrix = beginpmatrix x’ y’ endpmatrix + beginpmatrix 2 -1 endpmatrix = beginpmatrix x’+2 y’-1 endpmatrix$.
   Dari sini, kita dapatkan $x” = x’+2 implies x’ = x” – 2$ dan $y” = y’-1 implies y’ = y” + 1$.

Sekarang substitusikan hubungan antara $(x, y)$ dan $(x’, y’)$ ke dalam hubungan antara $(x’, y’)$ dan $(x”, y”)$:
Substitusikan $x = x’$ dan $y = -y’$ ke dalam $x’ = x” – 2$ dan $y’ = y” + 1$.
Kita punya $x = x” – 2$ dan $-y = y” + 1 implies y = -(y” + 1) = -y” – 1$.

Substitusikan $x$ dan $y$ yang baru ini ke dalam persamaan garis asli $y = 2x + 1$:
$(-y” – 1) = 2(x” – 2) + 1$
$-y” – 1 = 2x” – 4 + 1$
$-y” – 1 = 2x” – 3$
$-y” = 2x” – 3 + 1$
$-y” = 2x” – 2$
$y” = -2x” + 2$

Jadi, bayangan garisnya adalah $y = -2x + 2$.

5. Barisan dan Deret

Barisan adalah urutan bilangan, sedangkan deret adalah jumlah dari suku-suku barisan.

Barisan dan Deret Aritmatika:

• Ciri: Selisih antara dua suku berurutan konstan (disebut beda, $b$).
• Rumus suku ke-n: $U_n = a + (n-1)b$
• Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = fracn2(a + U_n)$ atau $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$

Barisan dan Deret Geometri:

• Ciri: Perbandingan antara dua suku berurutan konstan (disebut rasio, $r$).
• Rumus suku ke-n: $U_n = a cdot r^n-1$
• Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = fraca(r^n – 1)r – 1$ (untuk $r ne 1$)

Deret Tak Hingga Geometri:

• Rumus jumlahnya: $S_infty = fraca1 – r$ (berlaku jika $|r| < 1$)

Contoh Soal 7: Aplikasi Barisan Aritmatika dalam Pertumbuhan

Seorang pegawai mendapatkan gaji awal Rp 3.000.000 per bulan. Setiap tahun, gajinya mengalami kenaikan sebesar Rp 200.000. Berapa total pendapatan pegawai tersebut selama 5 tahun pertama bekerja?

Pembahasan:
Ini adalah masalah barisan aritmatika, di mana:

• Suku pertama (gaji tahun pertama): $a = 3.000.000$
• Kenaikan gaji per tahun (beda): $b = 200.000$
• Periode waktu: $n = 5$ tahun

Kita perlu mencari jumlah total pendapatan selama 5 tahun, yaitu $S_5$.
Menggunakan rumus $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$:
$S_5 = frac52(2 times 3.000.000 + (5-1) times 200.000)$
$S_5 = frac52(6.000.000 + 4 times 200.000)$
$S_5 = frac52(6.000.000 + 800.000)$
$S_5 = frac52(6.800.000)$
$S_5 = 5 times 3.400.000$
$S_5 = 17.000.000$

Jadi, total pendapatan pegawai tersebut selama 5 tahun pertama adalah Rp 17.000.000.

Contoh Soal 8: Menghitung Jumlah Deret Geometri

Jumlah tak hingga dari deret geometri $16 + 8 + 4 + 2 + dots$ adalah…

Pembahasan:
Ini adalah deret geometri tak hingga.

• Suku pertama: $a = 16$
• Rasio: $r = frac816 = frac12$

Karena $|r| = |frac12| < 1$, maka deret ini konvergen dan memiliki jumlah tak hingga.
Menggunakan rumus $Sinfty = fraca1 – r$:
$Sinfty = frac161 – frac12$
$Sinfty = frac16frac12$
$Sinfty = 16 times 2$
$S_infty = 32$

Jadi, jumlah tak hingga dari deret tersebut adalah 32.

6. Penutup

Mempersiapkan diri untuk Penilaian Akhir Tahun (PAT) Matematika Wajib Kelas 11 memerlukan pemahaman yang kuat terhadap konsep-konsep kunci serta kemampuan untuk menerapkannya dalam berbagai jenis soal. Contoh-contoh soal yang disajikan di atas mencakup topik-topik utama yang umum diujikan, mulai dari program linear, matriks, transformasi geometri, hingga barisan dan deret.

Tips Persiapan PAT Matematika:

1. Pahami Konsep Dasar: Pastikan Anda benar-benar mengerti definisi, rumus, dan prinsip dasar dari setiap topik. Jangan hanya menghafal.
2. Latihan Soal Secara Rutin: Kunci utama dalam menguasai matematika adalah latihan. Kerjakan berbagai variasi soal, mulai dari yang mudah hingga yang menantang.
3. Buat Ringkasan Materi: Buat catatan ringkas berisi rumus-rumus penting dan contoh soal yang representatif untuk setiap topik.
4. Identifikasi Kelemahan: Perhatikan topik atau jenis soal mana yang paling sering membuat Anda kesulitan. Fokuskan waktu belajar pada area tersebut.
5. Simulasikan Ujian: Cobalah mengerjakan soal-soal PAT tahun sebelumnya atau soal latihan dalam kondisi waktu terbatas, seolah-olah Anda sedang ujian sungguhan.
6. Bertanya: Jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika ada materi yang belum dipahami.

Dengan persiapan yang matang dan strategi belajar yang efektif, diharapkan siswa dapat meraih hasil yang optimal dalam PAT Matematika Wajib Kelas 11. Selamat belajar dan semoga sukses!